Как по мне Вы движетесь в правильном направлении, вскопать участок, выбрать камни и потом довезти грунт до нужного уровня.
к сожалению другого способа кроме лопаты я не вижу, привлекать технику для такого ограниченного пространства нет смысла как и вывозить грунт. Газон требует хорошо дреннированой почвы с высоким содержанием крупного речного песка(до 75%)
А для посадки туй достаточно будет локально готовить посадочные места и все будет отлично.
Единственное что бы я Вам порекомендовал это сделать систему автоматического полива, к сожалению без нее все ваши старания и по обустройству газона и посадку туй пойдут на смарку