Паркет и стяжка совершенно разные слои пола с точки зрения физических свойств. Слой фанеры нужен обязательно как РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЙ.
Далее, паркет паркету рознь. Одно дело, когда Вы хотите, чтобы он состоял из плашек длинной 500 мм, другое дело массивная доска более 1 метра. Дело в том, что плашка изменяет свои линейные размеры с изменением влажности. Принято считать, что это изменение составляет 0,5-1% от продольной длины.
Я бы еще думал про укладку "елочкой"небольшими плашками без фанеры, но применяя двухкомпонентный клей на полиуретановой основе, а вот длинные доски - фанера, однозначно, + дорогой П.У. клей.
Все сказанное относится к паркету в чистом виде, но сейчас существуют другие решения, гораздо более технологичные и менее затратные, но это тема другого разговора, если интересно расскажу.